Analisi infinitesimale
SIA - Smooth Infinitesimal Analysis
Il principio di microlinearità

La SIA, Smooth Infinitesimal Analysis, è forse la più interessante alternativa, come rifondazione dell'Analisi, alla NSA di Abraham Robinson.
Come la NSA la SIA riscopre gli infinitesimi di Leibnitz ma con una definizione diversa di origine geometrica; il principio fondamentale è quello di microlinearità che presuppone che a livello microscopico tutte le linee curve siano rettilinee; conseguenza di questo principio è che gli infinitesimi sono numeri non nulli, ma a quadrato nullo. Indicando gli infinitesimi con lettere greche minuscole come ε η ζ ...
	ε2 = 0
In pratica gli infinitesimi della SIA sono come nella NSA numeri maggiori di zero e minori di ogni numero reale positivo. Porre per definizione che il loro quadrato è nullo equivale a dire che tutti gli infinitesimi di ordine superiore al primo sono trascurabili e quindi vanno eliminati.
L'eliminazione di tutti gli infinitesimi di ordine superiore semplifica enormemente il calcolo delle derivate, degli integrali e dei limiti, ma comporta problemi logici non indifferenti; ammettere che un infinitesimo ε è diverso da zero ma che il suo quadrato è zero fa venir meno la legge di annullamento del prodotto, quella che dice che se a*b = 0 allora certamente è a = 0 oppure b = 0.
Ma viene meno anche la legge logica del terzo escluso; in effetti non è più vero che
	ε = 0 XOR ε <> 0
In generale dati due numeri iperreali a e b si possono dare tre casi: i due numeri possono essere

Bibliografia

John L.Bell - A Primer of Infinitesimal Analysis - Cambridge University Press 1998