Analisi InfinitesimaleI numeri iperreali
Numeri infinitamente vicini
Le monadiNumeri infinitesimi

Un concetto collegato a quello di infinitesimo è quello di infinitamente vicino. Due numeri iperreali x0 e x1 si dicono infinitamente vicini se differiscono al massimo per un infinitesimo. Useremo il simbolo $ \simeq $ per indicare la vicinanza infinita:

$ x_1 \simeq x_0 \leftrightarrow |x_1 - x_0| \le ε $

Detto in altri termini due numeri sono infinitamente vicini se hanno la stessa parte standard o anche se la parte standard della loro differenza è 0.

$ x_1 \simeq x_0 \leftrightarrow st(x_1 - x_0) = 0 $

La vicinanza infinita gode, come è quasi immediato verificare, delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, dunque è una relazione di equivalenza. Le classi di equivalenza si chiamano monadi: una monade è quindi l'insieme di tutti i numeri iperreali infinitamente vicini a un dato iperreali, o che è più comodo a un dato numero reale.

Il concetto di vicinanza infinita è utile per definire il concetto di continuità e di funzione continua.

Attenzione: le proprietà di questa relazione sono simili ma non identiche a quelle dell'uguaglianza. Per esempio è lecito sommare e sottrarre numeri uguali a destra e sinistra del simbolo $ \simeq $ ma non è lecito moltiplicare per infiniti uguali o dividere per infinitesimi uguali.

Esempio: $3 + 4ε \simeq 3 - 2ε$ sommando 2ε dà $3 + 6ε \simeq 3$ che è ancora vera; o anche sottraendo 3 $6ε \simeq 0$ anche questa vera.

Controesempio 1: $3 + 4ε \simeq 3$ dividendo per ε dà $3ω + 4 \simeq 3ω$ che non è vera; i due numeri potrebbero semmai dirsi finitamente vicini ma certamente non infinitamente vicini.

Controesempio 2: $3ε \simeq ε$ dividendo per ε (o che è lo stesso moltiplicando per ω) dà $3 \simeq 1$ che non è vera.

In definitiva occorre fare molta attenzione nel manipolare questa relazione; per ridurre la probabilità di errori, si può sempre trasformare una relazione tipo $x \simeq c$ in una normale uguaglianza $x = c+δ$ dove δ è un qualche infinitesimo.


Numeri indistinguibili

In alcuni casi è utile definire il concetto di numeri iperreali asintotici o indistinguibili(*). Useremo il simbolo ≅ per indicare questa relazione: due numeri si dicono indistinguibili se il loro quoziente è infinitamente vicino ad 1:

$ \frac{x_1}{x_0} \simeq 1 \leftrightarrow x_1 \cong x_0 \leftrightarrow \frac{x_1}{x_0} = 1 + ε $

Questa relazione è più forte di quella di infinitamente vicino nel senso che se due numeri sono indistinguibili sono anche infinitamente vicini, infatti:

$ \ {x_1} \cong {x_0} \rightarrow \frac{x_1}{x_0} = 1 + ε \rightarrow x_1 = x_0 + {x_0}ε \rightarrow {x_1} \simeq {x_0} $

ma il viceversa non è vero se i due numeri sono infinitamente piccoli mentre lo è se non lo sono, per esempio:

$ {x_1} \simeq {x_0} \rightarrow {x_1} = {x_0} + {dy} \rightarrow \frac{x_1}{x_0} = 1 + \frac{dy}{x_0} $ e $ \frac{dy}{x_0} $ non sempre è infinitesimo, certamente lo è solo se $ x_0 $ non è infinitesimo, ma finito o infinito.

esempio: $ {3+ε} \simeq {3} \rightarrow \frac{3+ε}{3} = 1 + \frac{ε}{3} $ infinitamente vicini e indistinguibili

controesempio: $ {3ε} \simeq {ε} \rightarrow \frac{3ε}{ε} = 3 $ infinitamente vicini ma non indistinguibili

In conclusione questa relazione è significativa soprattutto tra due numeri infinitesimi; in questo caso dire che due numeri come 3ε ed ε sono infinitamente vicini è banale (sono comunque entrambi infinitamente vicini a zero). Per esempio il seno di un infinitesimo è un infinitesimo, scrivere $\sin{ε} \simeq ε$ è vero, ma la relazione di infinitamente vicino non dice molto, sarebbe vera anche per qualsiasi infinitesimo, p.es. $ \sin(\epsilon) \simeq \delta \quad \sin(\epsilon) \simeq 0 $ e non è sufficiente a giustificare la ben nota proprietà $ \frac {\sin{ε}}{ε} \simeq 1$; lo è invece affermare che $ \sin{ε} \cong {ε}$.


Caso notevole: se due numeri iperreali non nulli differiscono di un infinitesimo del secondo ordine allora sono indistinguibili nel senso che il loro quoziente è infinitamente vicino ad 1.

Esempio 1: $ ε + 3ε^2 \cong ε \quad \rightarrow \quad \frac{ε + 3ε^2}{ε} = 1 + 3ε \simeq 1 $

Esempio 2: $ {4} + ε^2 \cong {4} \quad \rightarrow \quad \frac{4 + ε^2}{4} = 1 + \frac{ε^2}{4} \simeq 1 $

Esempio 3: $ ω + ε^2 \cong ω \ \rightarrow \ \frac{ω + ε^2}{ω} = 1 + ε^3 \simeq 1 $

Il viceversa però non è sempre vero: se il quoziente di due numeri è infinitamente vicino a 1, i due numeri non sempre differiscono di un infinitesimo del secondo ordine.

controesempio: dati i numeri $ 3 + ε \simeq 3 $ si ha $ \frac{3 + ε}{3} = 1 + \frac{ε}{3} \simeq 1 $ e quindi sono indistinguibili anche se non differiscono di un infinitesimo del secondo ordine.

Attenzione: anche questa relazione gode di proprietà simili ma non identiche a quelle dell'uguaglianza. E qui non è sempre lecito sommare e sottrarre numeri uguali a destra e sinistra del simbolo $ \cong $ mentre è lecito moltiplicare per infiniti uguali o dividere per infinitesimi uguali (equivale a moltiplicare o dividere numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero).

esempio: dati i numeri indistinguibili $3 + ε^2 \cong 3$ sottraendo 2 si ottiene $ 1+ε^2 \cong 1 $ che è vera.

esempio: dati sempre $3 + ε^2 \cong 3$ moltiplicando per ω si ottiene $ 3ω+ε \cong 3ω $ che è ancora vera.

controesempio: dati ancora $ 3 + ε^2 \cong 3 $ sottraendo 3 si ottiene $ ε^2 \cong 0 $ che è falsa (il quoziente diviene inteterminato).

Questa relazione è definita su Alain Roberts, Nonstandard Analysis con il nome di asintotico; l'aggettivo indistinguibile è stato invece proposto da Giorgio Goldoni, si veda per esempio il suo libro Il professor Apotema insegna ... I numeri iperreali. X