Analisi infinitesimale
Definizione di derivata
Definizione - Regole di derivazione - Derivate fondamentali - I simboli della derivata

La definizione di derivata

Negli esempi della derivata di $x^2$ e di potenze superiori abbiamo usato un metodo che può essere generalizzato, fino ad avere una formula generale per il calcolo della derivata.

Consideriamo un generico punto $P(x, y)$ della generica funzione di equazione $y = f(x)$ e un punto $P'$ infinitamente vicino:: $$ \begin{cases} P(x;y) \\ P'(x+dx;y+dy) \end{cases}$$ ma essendo entrambi sulla stessa curva deve sempre essere $y = f(x)$ e quindi: $$ P'(x+dx; f(x+dx)$$ Ne segue che deve essere(*): $$ y + dy = f(x + dx) $$ e poiché $y = f(x)$: $$ dy = f(x+dx)-f(x) $$ e dividendo tutto per $dx$: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $$

Questa non è ancora la derivata. Infatti il quoziente tra due infinitesimi è, in generale, un numero iperreale con una parte reale e una infinitesima, e per la derivata ci serve solo la parte reale, quindi possiamo scrivere che: $$ f'(x) = st \left( \frac{dy}{dx} \right) = st \left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $$

La derivata viene definita come la parte standard del quoziente tra infinitesimi $ \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $ (che in generale sarà un numero iperreale)

$ f'(x) = st \left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \right) $

La derivata ha ovviamente senso solo per funzioni continue come già notato(*).

Alternativamente si può usare il simbolo di infinitamente vicino.

$ f'(x) \simeq \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} $

anche se in questo modo occorre aggiungere la condizione che $f'(x)$ sia un numero reale; non è detto che tra due numeri infinitamente vicini ce ne sia uno reale.



Valido HTML 4.01!
X Attenzione però: ammettere che ad un incremento infinitesimo della $x$ corrisponda un incremento infinitesimo della $y$ equivale ad ammettere che la funzione sia continua, non faccia salti. In questa prima parte consideriamo solo funzioni continue e quindi possiamo accettare così com'è questa definizione.