Materiale didattico - Matematica - VI Giornata Analisi non standard 1-10-2016, a Lucca
Calcolo infinitesimale NSA
NSA e SIA il ritorno dell'infinitesimo

Primi passi nel calcolo infinitesimale
NSA - Non standard Analysis
Altri contenuti
  • SIA - Smooth Infinitesimal Analysis
leibniz
Gottfried Leibniz

L'Analisi matematica nasce nel Seicento ad opera di Leibniz e Newton per risolvere alcuni problemi intrattabili con i metodi dell'algebra, p.es. il problema della tangente a una curva (Leibniz) e quello della velocità istantanea (Newton). L'idea di fondo di Leibniz è quella di introdurre nuovi numeri infinitamente piccoli o infinitesimi.

Un'idea davvero strana questa di infinitesimo, anzi, come osservò il Berkeley, contraddittoria visto che un infinitesimo viene ad essere al tempo stesso diverso da zero e praticamente uguale a zero. Eppure su queste mal definite basi Leibniz, Bernoulli, Eulero e tanti altri matematici costruirono un nuovo tipo di calcolo che fu detto infinitesimale (o anche sublime), dando luogo a una delle più importanti rivoluzioni nella storia della Matematica. Il Calcolo divenne subito uno strumento irrinunciabile per fisici e ingegneri, nonostante la debolezza delle sue fondamenta logiche.

Alla fine una soluzione per dare fondamenti logicamente più solidi al calcolo si trovò nell'Ottocento quando Cauchy prima e Weierstrass rifondarono il Calcolo superando le obiezioni del Berkeley; derivate e integrali furono definite non più in termini di infinitesimi ma di limiti a loro volta definiti con il metodo ε-δ; gli infinitesimi venivano aboliti e messi al bando dall'universo matematico; la formulazione di Cauchy-Weierstrass è divenuta quella standard, anche se questo approccio risulta molto più astruso e meno intuitivo di quello di Leibniz.


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Abraham Robinson

Nella seconda metà del Novecento il logico-matematico Abraham Robinson, insoddisfatto del metodo ε-δ e nostalgico di quello di Leibniz, riuscì a rifondare l'Analisi reintroducendo gli infinitesimi su basi logicamente più solide. L'Analisi così rifondata prese il nome di Analisi Non Standard; (inglese Non Standard Analysis spesso abbreviato in NSA).

L'Analisi non standard presenta diversi vantaggi su quella tradizionale; molte dimostrazioni risultano più semplici e intuitive, e molti calcoli alleggeriti.

Una volta rotto il tabù, negli ultimi decenni sono nate altre rifondazioni dell'Analisi basate su differenti definizioni di infinitesimo; la più interessante è forse la Smooth Infinitesimal Analysis (abbr. SIA, letteralmente Analisi infinitesimale liscia), che ridefinendo gli infinitesimi come numeri a quadrato nullo, permette un'ulteriore semplificazione del calcolo, che in pratica si riduce a un'algebra degli infinitesimi.


Nel 1973 Kurt Gödel, forse il più famoso matematico del XX secolo, in una conferenza affermò: "ci sono buoni motivi per credere che l'Analisi non standard in una versione o in un'altra sarà l'Analisi del futuro".

A quarant'anni dal lavoro di Robinson è ancora dubbio se la profezia di Gödel si stia avverando o no.

L'approccio non standard è ancora poco diffuso nelle scuole superiori e nelle università, mentre la maggior parte dei libri di testo e dei corsi continuano a far uso dell'approccio ε-δ di Cauchy-Weierstrass.

Si tratta della classica diffidenza nei confronti delle novità o è l'approccio di Robinson a non avere tali vantaggi da giustificare l'abbandono dell'Analisi Standard?

Ai posteri la risposta?

E in attesa del verdetto dei posteri, in queste pagine presento un tentativo di introduzione all'analisi secondo l'approccio non standard, approccio che sembra particolarmente adatto allo studio dell'analisi nei licei.


Fonti e riferimenti bibliografici


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